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Premiers bacheliers en sciences mathématiques et physiques : Algèbre

18/9 1h30 Notions de monoide, groupe, anneau, corps, champ.
19/9 1h30 Exemples de champs (anneau de l'ensemble des parties d'un ensemble, entiers modulo, ...), introduction aux matrices à coefficients dans un champ.
25/9 1h30 Opérations sur les matrices, matrices particulières : somme, multiplication par un scalaire, multiplication, matrice identité, matrice diagonale, bloc-triangulaire...
2/10 1h30 Opérations sur les matrices (fin), transposée, sous-matrice, matrices composées; exemple dans Mathematica.
9/10 1h30 Applications des puissances d'une matrice, déterminant, permutations : produit, inverse, permutations disjointes, signature, inverse, exemples du déterminant en dimension 2 et 3.
16/10 1h30 Permutations, cycles, transpositions, résultats admis: toute permutation est un produit de cycles, tout cycle est un produit de transposition, signature d'un produit = produit des signatures, corollaire sur la signature d'une permutation, thm. avec preuve : le nombre de permutations paires = le nombre de permutations impaires.
17/10 1h30 P. Mathonet: déterminant, transposée, det(I), multilinéaire, alterné, antisymétrique.
23/10 1h30 Ajouté à une colonne une combinaison des autres colonnes ne change pas le déterminant, matrices bloc-triangulaires (idée de la preuve), mineur, cofacteur, règles des mineurs (lemme+preuve).
30/10 1h30 Vecteurs colonnes lin. indépendants, définition et exemples, lien avec le déterminant (énoncé), lien avec mineurs: p vecteurs lin. dép. SSI tous les mineurs d'ordre p sont nuls (un sens démontré), rang d'une matrice, définitions équivalentes, premières propriétés, méthode des sous-matrices bordées (énoncé).
6/11 1h45 Une application multilinéaire et alternée = à une constante multiplicative près au déterminant, déterminant d'un produit, det A=0 SSI colonnes linéairement dépendantes, retour sur vecteurs colonnes linéairement dépendants, énoncé du thm. de Steinitz (sans preuve), rang A=r SSI on peut trouver r colonnes lin. indép. et toute colonne est combinaison de celles-ci, preuve de la méthode des sous-matrices bordées.
7/11 1h45 Retour sur le rang, si toute colonne est combinaison de r colonnes, rg(A.B), rg(A+B), inversion de matrices, propriétés, inversion et indépendance/rang, formules de Frobenius-Schur et corollaire.
13/11 1h45 Espaces vectoriels : définition, exemples, combinaisons linéaires, indépendance linéaire, exemples, importance du champ, thm. de Steinitz (avec preuve).
14/11 1h30 Partie libre, génératrice, base, esp. de dimension finie, toute partie libre/génératrice est incluse/contient une base, dimension d'un espace vectoriel, nombre d'éléments d'une partie libre/génératrice.
20/11 1h30 base, changement de bases, exemples (polynômes), matrice de changement de base, le passage aux composantes est un isomorphisme, exemples.
21/11 1h30 Sous-espace vectoriel, exemples, dim F, si dim F=dim E, alors E=F, somme de deux sev, intersection de sev, enveloppe linéaire, enveloppe d'un nombre fini d'éléménts, partie génératrice de F+G.
27/11 1h30 enveloppe de F,G = F+G, dim(F+G), somme directe, définition, caractérisation : tout élément (resp. 0) possède une décomposition unique, exemples numériques, notion de supplémentaire, existence/construction d'un supplémentaire.
28/11 1h30 Somme de p sous-espaces, somme directe, caractérisation, exercice récapitulatif.
4/12 1h30 Systèmes linéaires, définitions, premières propriétés, systèmes équivalents, systèmes de Cramer (+ formules), compatibilité thm. de Rouché.
5/12 1h30 corollaire du théorème de Rouché, application: lieux géométriques (élimination), algorithme de Gauss-Jordan, inversion de matrices.
30h30

Premiers bacheliers en sciences mathématiques / Deuxièmes bacheliers en sciences physiques : Algèbre

5/02 1h30 .
0h0

bacheliers en sciences mathématiques / bacheliers en sciences informatiques : Théorie des graphes

17/09 3h30 IM Graphes orientés, non orientés, handshaking formula, graphes bipartis, diverses applications de la théorie des graphes, chemin, piste, chemin simple, circuit, connexité, f. connexité, s. connexité, cloture réflexive et transitive de succ/pred, test de connexité et détection des composantes f. connexes (algorithme tache d'huile), utilisation de Mathematica.
24/09 1h30 IM Graphes eulériens, distance et diamètre, algorithme de Dijkstra.
Séance d'exercices (exercices 1 à 8)
Un peu de Mathematica...
1/10 1h30 IM Sous-graphes, sous-graphe couvrant, sous-graphe induit, clique, point/ensemble d'articulation, (ensemble de) coupure, caractérisation des arêtes de coupure, thm. de Menger (énoncé), tri topologique : graphes sans cycle.
Séance d'exercices (exercices 13, 14, 18, 21, 24, 25)
8/10 1h30 IM Tri topologique (suite et fin), énumérer les tris, arbres, premières propriétés, nombre sommets/arêtes, sous-graphe couvrant, parcours d'arbres
15/10 1h45 IM Homorphismes, isomorphismes, automorphismes de graphes, coloriage de graphes, nombre chromatique, arbres lexicographiques, arbres réguliers, graphes hamiltoniens, condition nécessaire.
29/10 3h15 M Théorèmes de Dirac, Ore, Chvatal (preuves et corollaires, notion de fermeture), partition de Kn en circuits hamiltoniens, tour de magie et graphes de De Bruijn hamiltoniens, nombres de Ramsey (définition, preuve, cas de 3 couleurs).
5/11 2h00 IM retour sur les théorèmes "condition suffisante pour être hamiltonien", théorie algébrique des graphes, matrice d'adjacence, matrice de permutation, coefficients du polynôme caractéristique, graphe biparti implique spectre symétrique, nombre de chemins de longueur n, matrices irréductible, primitive, thm. de Perron (évocation).
12/11 2h00 IMMatrices primitives/irréductibles, corollaire du thm. de Perron pour les puissances de A, comportement asymptotique, cas irréductible non primitif, exemple, graphe connexe à spectre symétrique implique graphe biparti, graphe avec plusieurs composantes f.connexes, cas où toutes les composantes sont primitives.
19/11 2h30 IMCas des graphes irréductibles (fortement connexes), thm. fondamental, notion de période d'un sommet, d'une composantes, 2 lemmes "techniques", lien entre période et le thm. de Perron-Frobenius, PageRank et Google (lemme sur matrices stochastiques admis).
26/11 2h30 IMApplication du pageRank, planarité, formule d'Euler, applications : graphe simple avec un sommet de degré au plus 5, K5 et K33 non planaires, thm. de Kuratowski (sans preuve), thm. des 5 couleurs.
3/12 2h00 IMExercices sur la planarité.
23h00