LogoULg

Premiers bacheliers en sciences mathématiques et physiques : Algèbre

17/9 2h00 Notions de monoide, groupe, anneau, corps, champ, exemple des parties d'un ensemble, théorie naïve des ensembles.
18/9 2h00 (1BP) : définition de C comme ensemble de couples de réels, définition de + et ., identification des réels, z=a+ib, nombres associés à un complexe, propriétés.
19/9 1h30 (1BP) : exponentielle complexe, propriétés, forme trigonométrique, fonctions arcsin et arcos.
23/9 1h30 (1BP) : forme trigonométrique (fin), application à cos/sin(3x), interprétation géométrique de la somme et du produit, homothétie, racines carrées (forme cartésienne et trigonométrique).
24/9 2h00 Exemples d'anneaux (différence symétrique, entiers modulo), introduction aux matrices, multiplication par un scalaire.
26/9 1h30 (1BP) : racines carrées (un exemple), équation du second degré, somme et produit des racines, symbole sommatoire, preuve par récurrence.
30/9 1h30 (1BP) : coefficient binomial, triangle de Pascal, preuve du binôme de Newton, thm. multinomial.
1/10 2h00 Matrices : somme, combinaisons linéaires, produit, propriétés du produit, associativité, exemples, transposée, opérations pour les matrices complexes, sous-matrices.
3/10 2h00 (1BP) racines n-ièmes, racines de l'unité, propriétés, racine primitive - wooclap de test.
8/10 2h00 Matrices : sous-matrices et opérations, Permutations : définition, exemples, structure de groupe, nombre de permutation, 2 permutations disjointes commuttent.
15/10 2h00 cycles, produit de cycles, puissance, transposition, produit de transpositions, signature d'une permutation, signature d'un produit, corollaires : signature d'un cycle de longueur p, parité en fonction du nombre de cycles de longueur paire, nombre de permutations paires = nombre de permutations impaires.
22/10 2h00 Déterminant d'une matrice, définition, exemples en dimension 2,3, privilégier lignes/colonnes, déterminant transposée, conjugué, adjoint, det(I)=1, linéarité, alterné, antisymétrique, ajouter à une colonne une combinaison des autres colonnes.
5/11 2h00 Déterminant d'une matrice: matrice bloc-triangulaire (preuve vidéo), application multilinéaire et alternée (preuve vidéo - facultatif), det(AB), mineur, cofacteur, lois des mineurs, expression matricielle, lemme expression cofacteur, preuve des lois des mineurs.
12/11 2h00 Indépendance linéaire, définition, exemple, premières propriétés : ajouter/retirer un vecteur à des vecteurs lin. dépendants/indépendants, vecteur nul, si x1,...,xk indépendants et x1,...,xk,x(k+1) dépendants, alors x(k+1) est combinaison des autres, des vecteurs sont dépendants SSI l'un est combinaison des autres, thm. de Steinitz (énoncé), lien entre dépendance des colonnes et dét.=0 (résultat admis), conséquence de Steinitz : si plus de n vecteurs en dimension n, x1,...,xk dépendants SSI tous les mineurs d'ordre k sont nuls, définition du rang (égalité nombre max. lignes/colonnes/sous-matrice det. non nul), rang=r SSI on peut trouver r colonnes indépendantes et toute autre colonne est combinaison de celles-ci.
19/11 2h00 Propriétés du rang, méthode matrices bordées (preuve en vidéo), inverse de matrices : définitions, propriétés, inverse et indépendance linéaire, inverse et rang.
25/11 1h30 Espaces vectoriels : définition, exemples, premières propriétés, indépendance linéaire, exemples, importance du champ, partie libre/génératrice.
26/11 2h00 Espaces vectoriels : partie génératrice finie, toute partie libre/génératrice est incluse/contient une base, 2 bases ont le même nombre d'éléments, dimension, si dim E=n, une partie libre/génératrice à n éléments est une base, décomposition unique dans une base et passage aux composantes.
2/12 1h30 Le passage aux composantes est un isomorphisme d'espaces vectoriels, exemple, applications, changement de bases, exemples.
3/12 2h00 Remarque : importance du champ pour la dimension, sous-espace vectoriel, définition, exemples, critère, dimension d'un sous-espace, si dim F=dim E, alors E=F, union, intersection et somme de sev, enveloppe linéaire, enveloppe linéaire d'un nombre fini de vecteurs, parties génératrices de F, G et F+G, dimension de F+G.
9/12 1h30 Somme directe de 2 sev, décomposition unique de tout élément, exemple (détaillé) matrices symétriques/antisymétriques, supplémentaire, existence, non unicité.
10/12 2h00 Somme directe de 2 sev SSI 0 possède une décomposition unique, somme directe de p sev, SSI tout élément de la somme a une décomposition unique, SSI F2+...+Fp est directe et F1 en somme directe avec F2+...+Fp, thm. de Steinitz (preuve). Systèmes d'équations linéaires : premières définitions, système homogène et sous-espace vectoriel, cas d'une matrice inversible, structure des solutions.
16/12 1h30 Structure des solutions, exemple, compatibilité et thm. de rouché, corollaire (nombre d'équations indépendantes à conserver pour avoir un système équivalent).
30h00 + 10h00

Premiers bacheliers en sciences mathématiques / Deuxièmes bacheliers en sciences physiques : Algèbre

3/2 1h30 Polynômes à coefficients complexes, Dz, dérivée et coefficients d'un polynôme, égalité de 2 polynômes, degré, formule de Taylor.
7/2 1h30 Zéros de polynômes à coefficients complexes, caractérisation des zéros, TFA, corollaires du TFA, application au partage de secrets.
10/2 1h30 Evocation des fomules de Viète, division euclidienne de polynômes, existence et unicité, lien avec les zéros, divisibilité, pgcd, polynômes premiers entre eux, algo. Euclide et thm. de Bezout.
14/2 1h30 Fractions rationnelles, définition, num. et dénom. premiers entre eux (prolongement continu), polynôme + fraction propre, dérivée d'une fraction rationnelle, décomposition d'une fraction propre en somme de 2 fractions propres.
17/2 1h30 Décomposition d'une fraction propre: cas de m facteurs premiers entre eux, décomposition en fractions simples sur C, polynôme réel, conjugué d'un polynôme à coefficients complexes.
21/2 1h30 zéros d'un polynôme à coefficients réels, fractions réelles, décomposition en fractions simples sur R, introduction aux applications linéaires.
24/2 1h30 Une application est complètement déterminée par les images des éléments d'une base de E, isomorphisme, T-1 isomorphisme.
28/2 1h30 T isomorphisme SSI image d'une base est une base. Image et noyau, définition, propriétés, lien avec injectivité/surjectivité, thm. de la dimension.
3/3 1h30 Corollaire du thm. de la dim. si dim E=dim F, T injectif SSI surjectif, rang d'une application. Représentation matricielle d'une applciation linéaire, exemple numérique, propriétés, MUV est un isomorphisme entre L(E;F) et Kpn, base de L(E;F).
10/3 1h30 Représentation matricielle (rappels, lien avec image et noyau), cas d'un endomorphisme. Changement de bases, cas d'un endormorphisme, déterminant d'un endomorphisme, introduction à la diagonalisation : définition, matrice diagonalisable, valeur/vecteur propre, exemple, T diagonalisable SSI base de vecteurs propres.
14/3 1h30 Les zéros du polynôme caractéristique sont les valeurs propres de T, exemple numérique détaillé, multiplicité algébrique, multiplicité géométrique, sous-espace propre.
17/3 1h30 Propriétés du polynôme caractéristique, coefficients de ce polynôme (2 énoncés : sous-matrices et valeurs propres - sans preuve), trace d'une matrice, multiplicité algébrique sup. mult. géométrique.
21/3 1h30 Des vecteurs propres associés à des v.p. sont lin. indép. ; les sous-espaces propres sont en somme directe ; T diagonalisable SSI E=somme des s.-e. propres SSI égalité des multiplicités alg. et géom., cas des valeurs propres simples. Exemple de matrice non diagonalisable.
24/3 1h30 Exemples slides , calcul des puissances n-ièmes, polynôme d'endomorphisme, det(P(T)) .
21h00

bacheliers en sciences mathématiques : Logique et approche mathématique de la programmation

-- -- Cours théorique sous forme de tutoriel vidéo.
--

bacheliers en sciences mathématiques / bacheliers en sciences informatiques : Théorie des graphes

16/09 3h00 IM Graphes orientés, non orientés, handshaking formula, graphes bipartis, diverses applications de la théorie des graphes, chemin, piste, chemin simple, circuit, connexité, f. connexité, s. connexité, cloture réflexive et transitive de succ/pred, test de connexité et détection des composantes f. connexes (algorithme tache d'huile), graphe acyclique (ou condensé) des composantes connexes.
23/09 1h30 IM Graphes eulériens (cas non orienté et orienté), algorithme de Dijkstra.
30/09 1h30 IM Sous-graphes, k-connexité (pour les sommets, les arêtes), clique, thm. de Menger, tri topologique.
7/10 1h30 IM Arbres, propriétés, nombre de sommets/arêtes, arbres pointés, parcours d'arbres (préfixe,infixe,suffixe), homomorphisme de graphes.
14/10 1h30 IM Isomorphisme, automorphisme de graphes, exemples, arbre lexicographique, arbre régulier, automate, graphe hamiltonien, condition nécessaire, thm. de Dirac et d'Ore.
21/10 1h30 IM arbres lexicographiques réguliers, graphes hamiltoniens, condition nécessaire, thm. de Dirac, thm. d'Ore et fermeture d'un graphe, thm. de Chvatal, partition de Kn en circuits hamiltoniens, tour de magie et graphes de De Bruijn..
4/11 1h30 IM Planarité, notion de face, choix de la face infinie et projection stéréographique, thm. de Steinitz (sans preuve), formule d'Euler, application : somet de degré au plus 5 dans un graphe simple, K5, K33 non planaires, thm. de Kuratowski (sans preuve), thm. des 4/5 couleurs, dual d'un graphe planaire, nombres de Ramsey, définition et existence.
18/11 1h30 IM Théorie algébrique des graphes, premières définitions, matrice d'adjacence, graphe biparti et spectre symétrique, matrice primitive.
25/11 1h30 IM Matrices irréductibles, thm. de Perron-Frobenius, thm. graphe biparti SSI spectre symétrique (vidéo), comportement asymptotique du nombre de chemins de longueur n : 1 composante primitive, plusieurs composantes primitives, cas irréductible : présentation du thm. fondamental et notion de période.
10/12 2h00 IM Matrices irréductibles, thm. de structure (avec preuve, sauf lemme "arithmétique"), irréductible et acyclique implique primitif, exemples, graphe k-régulier et valeur propre dominante, algorithme du pageRank.
17/12 --- IM Passage des projets.
17h00

Premiers bacheliers ingénieurs civils : Maths. discrètes

6/2 3h30 Slides 1" entièreté, sous-graphes, arbres, relation entre sommets/arêtes d'un arbre.
13/2 1h30 TP1 exercices 1 à 6 + 8 de la liste 1.
13/2 2h00 Arbres pointés, parcours d'arbres, algorithme de Dijkstra, graphes planaires, projection stéréographique, existence d'un sommet de degré au plus 5, K5 non planaire, K33 non planaire, thm. de Kuratowski.
20/2 1h30 TP2, exercices 1 à 6 de la liste 2.
20/2 2h00 graphes eulériens, graphes hamiltoniens.
27/2 1h30 TP3, exercices 8,9,10 de la liste 2 + août 2021 (formule d'Euler), exercices 1,2,3 de la liste 3.
27/2 2h00 Théorie algébrique des graphes, matrice d'adjacence, graphes isomorphes et matrice de permutation, polynôme caractéristique, coefficients du polynôme, puissances de la matrice et comptage de chemins, matrice de demi-degré entrant et comptage d'arbres couvrants pointés (thm. de Bott-Mayberry), cas non-orienté, tri topologique, graphe acyclique des comp. connexes et matrice d'adjacence.
6/3 1h30 (cours en ligne) TP4, liste 3, ex. 4,5,6 et liste 4, ex. 1,2,4.
6/3 2h00 (cours en ligne) matrices irréductible et primitive, définition, exemples, thm. de Perron et son corrolaire sur le comportement asymptotique des puissances de A, thm. de Perron-Frobenius, période d'un sommet, d'une composante connexe, lien avec le thm. de Perron-Frobenius.
13/3 1h30 TP5, liste 4, ex. 3,5,6,7.
13/3 2h00 Algorithme du PageRank, propriété des graphes k-réguliers + matrices stochastiques.
20/3 1h30 Théorie sur les suites linéaires récurrentes.
20/3 1h30 Premiers exercices sur les suites linéaires récurrentes, liste 5.
15h00 + 9h00