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Premiers bacheliers en sciences mathématiques et physiques : Algèbre

19/9 1h30 (1BP) : définition de C comme ensemble de couples de réels, définition de + et ., identification des réels, z=a+ib, nombres associés à un complexe.
19/9 2h00 Notions de monoide, groupe, anneau, corps, champ, exemple des parties d'un ensemble, théorie naïve des ensembles
21/9 1h30 (1BP) : propriétés du conjugué, module, parties réelle et imaginaire, introduction de l'exponentielle complexe.
26/9 2h00 Théorie des ensembles, introduction aux matrices, somme, multiplication par un scalaire, produit matriciel.
28/9 1h30 (1BP) : exponentielle, forme trigonométrique d'un nombre complexe, fonctions arcsin, arcos, exemples.
2/10 1h30 (1BP) : interprétation géométrique de la somme et du produit, racines carrées d'un complexe, équation du second degré.
3/10 2h00 produit matriciel (fin), transposée, opérations sur des matrices complexes, matrices symétriques et hermitiennes, sous-matrices et matrices blocs.
5/10 1h30 (1BP) équation du second degré (fin), puissances n-ièmes, preuve par récurrence, binôme de Newton, thm. multinomial.
9/10 1h30 (1BP) racines n-ièmes, quelques exercices.
10/10 2h00 permutations, produit, structure de groupe non commutatif, permutations disjointes commuttent, cycles, décomposition en produit de cycles, transposition et décomposition de cycles, définition de la signature, inversion, exemple.
12/10 1h30 exercices.
10/10 2h00 Signature, produit de signature, nombre de permutations paires et impaires, déterminant, définition et premières propriétés.
17/10 2h00 Signature d'un produit, nombre de permut. paires = nombre de permut. impaires, déterminant : définition, exemples en dimension 2,3, privilégier lignes/colonnes, déterminant transposée, conjugué, adjoint, det(I)=1.
24/10 2h00 déterminant premières propriétés : linéarité, alterné, antisymétrique, ajouter à une colonne une combinaison des autres colonnes, matrice bloc-triangulaire (preuve en vidéo), si D est multi-linéaire et alternée alors D(A)=D(I)det(A) (preuve en vidéo), mineurs, cofacteurs, première loi des mineurs, det(AB)=det A.det B (preuve en vidéo)
6/11 1h30 Loi des mineurs, suite et fin, forme matricielle, exemple, indépendance linéaire de vecteurs colonnes, définition, premières propriétés.
7/11 2h00 Thm de Steinitz (preuve plus tard), det. et indép. lin. (preuve en vidéo - Facultative), k vecteurs dépendants SSI tous les mineurs d'ordre k sont nuls, x1,...,xk indép. et x1,...,xk,y dépendants, rang : définition, premières propriétés, rg(A)=r SSI on peut trouver r col. lin. indép. et toute col. est combinaison de celles-ci, méthodes des sous-matrices bordées (preuve en vidéo).
13/11 1h30 Inverse de matrices : définitions, propriétés, inverse et indépendance linéaire, inverse et rang.
14/11 2h00 Espaces vectoriels : définition, exemples, premières propriétés, combinaisons linéaires, indépendance linéaire, importance du champ considéré, exemples, preuve du thm. de Steinitz, partie libre/génératrice.
20/11 1h30 Espace de dimension finie, toute partie libre/génératrice est incluse/contient une base, existence d'une base, dimension : 2 bases ont le même nombre d'éléments.
21/11 2h00 Décomposition unique dans une base, composantes, 3 exemples (matrices, vecteurs, polynômes), "phi U" est un isomorphisme (passage aux composantes), changement de bases.
27/11 1h30 Sous-espace vectoriel, dimension, union, complémentaire, intersection de sev, enveloppe linéaire, définition, cas de l'enveloppe d'un nombre fini de vecteurs, somme de sev.
28/11 2h00 Thm de la dimension, enveloppe de l'union = F+G, somme directe de 2 sev, définition, caractérisations (tout élément a une décomposition unique, 0 a une décomposition unique), somme de p sev, somme directe, définition et caractérisations (tout élément a une décomposition unique, F1 en somme directe avec F2+...+Fp), base des différents sous-espaces.
4/12 1h30 Supplémentaire d'un sev, systèmes d'équations linéaires, définitions, premières propriétés, systèmes de Cramer, unicité de la solution, formule de Cramer, système carré homogène, structure générale des solutions.
5/12 2h00 exemple : structure générale des solutions, thm. de Rouché, corollaire, structure des solutions, algorithme du pivot Gauss, exemples et applications.
10h30 + 31h30

Premiers bacheliers en sciences mathématiques / Deuxièmes bacheliers en sciences physiques : Algèbre

5/2 1h30 Polynômes à coefficients complexes, Dz, dérivée et coefficients d'un polynôme, égalité de 2 polynômes, degré, formule de Taylor.
9/2 1h30 Zéros de polynômes à coefficients complexes, caractérisation des zéros, TFA, corollaires du TFA.
12/2 1h30 Division euclidienne de polynômes, existence et unicité, lien avec les zéros, divisibilité, pgcd, polynômes premiers entre eux, algo. Euclide et thm. de Bezout.
16/2 1h30 Fractions rationnelles, définition, num. et dénom. premiers entre eux (prolongement continu), polynôme + fraction propre, dérivée d'une fraction rationnelle, décomposition en somme de 2 fractions propres.
19/2 1h30 Retour sur la décomposition en somme de 2 fractions propres, unicité de la décomposition, cas de m facteurs premiers entre eux, décomposition en fractions simples sur C, polynôme réel, conjugué d'un polynôme à coefficients complexes.
23/2 1h30 Zéros d'un polynôme à coefficients réels, fractions réelles, décomposition en fractions simples sur R, introduction aux applications linéaires.
26/2 1h30 Une application est complètement déterminée par les images des éléments d'une base de E, isomorphisme, T isomorphisme SSI image d'une base est une base.
1/3 1h30 Image et noyau, définition, propriétés, lien avec injectivité/surjectivité, thm. de la dimension, corollaire si dim E=dim F, T injectif SSI surjectif, rang d'une application.
4/3 1h30 Représentation matricielle d'une applciation linéaire, exemple numérique, propriétés, MUV est un isomorphisme entre L(E;F) et Kpn, cas d'un endomorphisme.
8/3 1h30 Changement de bases, cas d'un endormorphisme, déterminant d'un endomorphisme, introduction à la diagonalisation : définition, matrice diagonalisable, valeur/vecteur propre, espace propre, exemple, T diagonalisable SSI base de vecteurs propres.
11/3 1h30 Exemple d'isomorphisme entre L(E;F) et Kpn, construction d'une base de L(R3;R2), les zéros du polynôme caractéristique sont les valeurs propres de T, propriétés du polynôme caractéristique, coefficients de ce polynôme : somme de déterminants, somme de produit de valeurs propres répétées selon leur multiplicité (sans preuve, illustration sur slides), propriétés de la trace.
15/3 1h30 Multiplicité géométrique inférieure ou égale à l'algébrique, vecteurs propres associés à des v.p. distinctes, sous-espaces propres en somme directe, CNS pour que T soit diagonalisable, cas des valeurs propres simples, exemple numérique.
18/3 1h30 Exemples (suite) : matrice non diagonalisable, slides , calcul des puissances n-ièmes, disques de Gershgorin, polynôme d'endomorphisme (définition).
22/3 1h30 Polynôme d'endomorphisme, det(P(T)), valeurs propres, multiplicité, espaces propres de P(T), thm. de Cayley-Hamilton, définition du polynôme minimum de T.
25/3 1h30 différences entre polynôme caractéristique et polynôme minimum de T, zéros de ce polynôme, produit scalaire, vecteurs orthogonaux et indép. linéaire, procédé de Gram-Schmidt, produit scalaire et matriciel, cas des matrices hermitiennes, matrices unitaires, propriétés, toute matrice diagonalisable par une unitaire est normale.
29/3 1h30 Tout matrice normale est diagonalisable par une matrice unitaire + 2 lemmes (vecteurs/valeurs propres matrice normale), une matrice normale est unitaire/hermitienne SSI v.p. de module 1/réelles, évocation matrice hdp et diagonalisation simultanée.
22h30

bacheliers en sciences mathématiques : Logique et approche mathématique de la programmation

-- -- Cours théorique sous forme de tutoriel vidéo.
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bacheliers en sciences mathématiques / bacheliers en sciences informatiques : Théorie des graphes

18/09 3h30 IM Graphes orientés, non orientés, handshaking formula, graphes bipartis, diverses applications de la théorie des graphes, chemin, piste, chemin simple, circuit, connexité, f. connexité, s. connexité, cloture réflexive et transitive de succ/pred, test de connexité et détection des composantes f. connexes (algorithme tache d'huile), graphe acyclique (ou condensé) des composantes connexes.
25/09 1h30 IM graphes eulériens, algorithme de Dijkstra.
2/10 1h30 IM sous-graphes, sous-graphe couvrant, clique, sommets indépendants, point d'articulation, coupure et k-connexité, thm. de Menger (énoncé), tri topologique
9/10 1h30 IM arbres, propriétés, arbre couvrant, parcours (préfixe, suffixe, infixe, en largeur, en profondeur), homomorphismes de graphes, lien avec coloriage, isomorphisme, automorphisme d'un graphe
23/10 1h30 IM arbres lexicographiques réguliers, graphes hamiltoniens, condition nécessaire, thm. de Dirac, thm. d'Ore et fermeture d'un graphe, thm. de Chvatal, partition de Kn en circuits hamiltoniens, tour de magie et graphes de De Bruijn.
6/11 1h30 IM Théorie algébrique des graphes, matrice d'adjacence, exemples, renommer les sommets et permutation, coefficients du polynôme caractéristique, puissance et nombre de chemins, matrices irréductibles et primitive, thm. de Perron.
13/11 1h30 IMPlanarité, notion de face, choix de la face infinie et projection stéréographique, thm. de Steinitz (sans preuve), formule d'Euler, application : somet de degré au plus 5 dans un graphe simple, K5, K33 non planaires, thm. de Kuratowski (sans preuve), thm. des 4/5 couleurs, dual d'un graphe planaire, nombres de Ramsey, définition et existence.
20/11 1h30 IM Théorie algébrique des graphes: rappels, thm. de Perron-Frobenius, différence avec le cas primitif, comportement asymptotique du nombre de chemins de longueur n, plusieurs composantes primitives, structure des graphes irréductibles, notion de période.
14h00

Premiers bacheliers ingénieurs civils : Maths. discrètes

8/2 "Slides 1" entièreté, sous-graphes, arbres, relation entre sommets/arêtes d'un arbre.
15/2 TP 1, exercices 1 à 6 + 8 de la liste 1.
15/2 arbres pointés, parcours d'arbres, algorithme de Dijkstra, graphes planaires, projection stéréographique, existence d'un sommet de degré au plus 5, K5 non planaire.
22/2 TP 2, exercices 1 à 6 de la liste 2.
22/2 Graphes planaires (fin), K33 non planaire, thm. de Kuratowski, graphes eulériens, graphes hamiltoniens.
29/2 TP 3, exercices 8,9,10 de la liste 2 + août 2021 (formule d'Euler), exercices 1,2,3 de la liste 3.
29/2 Théorie algébrique des graphes, matrice d'adjacence, graphes isomorphes et matrice de permutation, polynôme caractéristique, coefficients du polynôme, puissances de la matrice et comptage de chemins, matrice de demi-degré entrant et comptage d'arbres couvrants pointés (thm. de Bott-Mayberry), cas non-orienté, tri topologique, graphe acyclique des comp. connexes et matrice d'adjacence.
7/3 TP 4, liste 3, ex. 4,5,6 et liste 4, ex. 1,2,4
7/3 matrices irréductible et primitive, définition, exemples, thm. de Perron et son corrolaire sur le comportement asymptotique des puissances de A, thm. de Perron-Frobenius, période d'un sommet, d'une composante connexe, lien avec le thm. de Perron-Frobenius, valeurs propres graphe k-régulier, matrice stochastique.
14/3 TP 5, liste 4, ex. 3,5,6,7.
14/3 Algorithme du pagerank.
21/3 Suites linéaires récurrentes, exemples, structure d'espace vectoriel, bijection avec l'ensemble des conditions initiales, thm. de structure des solutions, illustration zéros simple et multiple.
21/3 TP 6, premiers exercices sur les suites linéaires récurrentes.
28/3 TP 7, derniers exercices sur les suites linéaires récurrentes + quelques exercices d'examen des années antérieures.
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