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Premiers bacheliers en sciences mathématiques : Algèbre

18/9 1h30 Notions de monoide, groupe, anneau, corps, champ.
20/9 1h00 Exemples Z/3Z, Z/4Z, Q(racine de 2), (P(x),différence symétrique),....
21/9 1h00 Introduction aux matrices (définitions, multiplication par un scalaire, addition, multiplication).
25/9 1h30 Matrices (suite: multiplication, commutativité, transposée, opérations matrices complexes, sous-matrices, matrices blocs).
28/9 1h00 Matrices (fin: retour sur produit par bloc, chemins dans un graphe), permutation, bijection, Sn forme un groupe.
2/10 1h30 Permutations disjointes commutent, cycles, toute permutation est un produit de cycles (sans preuve), puissance d'un cycle, tour de magie, transposition, tout cycle de long. p est un produit de p-1 transpositions, signature: définition, exemples, application.
4/10 1h00 Puissance d'une permutation, signature d'un produit, nombre de permutations paires = nombre permutations impaires, groupe alterné, introduction du déterminant.
5/10 1h00 Premières propriétés du déterminant : transposée, det(I), multilinéaire et alterné sur les colonnes, antisymétrie, remplacer une colonne par elle-même + une combinaison linéaire des autres.
5/10 1h30 Déterminant matrices triangulaires, mineur, cofacteur, lemme exprimant un cofacteur, règle des mineurs, exemple, expression matricielle.
11/10 1h00 Indépendance linéaire : définition et premières propriétés, thm. de Steinitz (énoncé), colonnes linéairement indépendantes SSI déterminant nul.
16/10 1h30 Si f est une application multilinéaire et alternée, alors f(A)=f(I)det(A), déterminant d'un produit, indépendance linéaire de k colonnes (un sens), rang d'une matrice (définition, premières propriétés), le rang vaut r SSI on peut trouver r colonnes lin. indépendantes et toute colonne est combinaison de celles-ci.
18/10 1h00 Rang : méthode des sous-matrices bordées, exemples, inverse d'une matricé (carrée) : existence, unicité.
25/10 1h00 Matrice inverse : inverse de l'inverse, de la transposée, du conjugué, de l'adoint, etc. indépendance linéaire et application d'une matrice inversible, rg(AB)=rg(B)si A inversible, formules de Frobenius-Schur et son corollaire (sans preuve).
30/10 1h00 Introduction aux espaces vectoriels, définitions, exemples, indépendance linéiare, thm. de Steinitz.
06/11 1h30 Partie libre, génératrice, base, toute partie génératrice contient / toute partie libre est incluse dans une base, dimension, décomposition unique dans une base, passage aux composantes est un isomorphisme.
13/11 1h30 Isomorphisme (exemples), changement de bases, exemple numérique (polynômes de degré au plus 2), formule de changement de bases, premières propriétés.
14/11 1h30 Sous-espace vectoriel, définition, exemples, dimension, union, intersection de sev, enveloppe linéaire (comme intersection de sev), enveloppe linéaire d'un ensemble fini, somme de deux sev, premières propriétés.
27/11 1h30 Exemple 'numérique' (F, G, F inter G, F+G, base, dimension, etc.), dim(F+G) preuve, somme directe de deux sous-espaces vectoriels, définition, unicité des décompositions, supplémentaire, somme de p sous-espaces vectoriels.
28/11 1h30 Somme de p sous-espaces, somme directe, définition, caractérisations, exemples.
5/12 1h30 Systèmes d'équation linéaire, définitions et premières propriétes, thm. de Rouché (compatibilité et rang).
6/12 1h00 Corollaire du thm. de Rouché, formules de Cramer, structure des solutions, dimension du sev des solutions du système homogène associé, application à un lieu géométrique.
11/12 1h30 Pivot de Gauss, exemples, applications aux inversions de matrices.
13/12 1h30 Examen à blanc, réponses aux questions.
30h00

Premiers bacheliers en sciences mathématiques / Deuxièmes bacheliers en sciences physiques : Algèbre

5/02 1h30 Polynômes à coefficients complexes, dérivée Dz, coefficients, formule de Taylor, définition d'un zéro.
7/02 1h30 Caractérisation des zéros alpha-uples, thm. fondamental de l'algèbre et ses corollaires (lemme de d'Alembert admis), formules de Viète, Règle de Descartes.
14/02 1h30 Division de polynômes, division euclidienne, reste et quotient uniques, zéros et divisibilité, pgcd, polynômes premiers entre eux, si A divise BC et A premier avec B, algorithme d'Euclide, thm. de Bezout.
26/02 1h30 Fractions rationnelles: définition, A et B premiers entre eux, unicité des numérateur et dénominateur, comportement au voisinage d'un pôle, dérivée d'une fraction rationnelle (sans preuve), décomposition d'une fraction propre en somme de deux fractions, décomposition en fractions simples sur C (sans preuve).
28/02 1h30 Fractions rationnelles : numérateur "associé" à un dénominateur dans une décomposition en fractions propres, décomposotion en fractions simples sur C, polynômes à coefficients réels et leurs zéros, fractions rationnelles réelles, si un dénominateur est réel, le numérateur correspondant l'est aussi dans une décomposition en fractions propres, déceomposition en fractions simples sur R.
5/03 1h30 Applications linéaires: définitions (opérateur, endomorphisme, forme linéaire), exemples "numériques", une application linéaire est entièrement déterminée par les images des éléments d'une base, L(E;F) est un espace vectoriel, composition d'applications, représentation matricielle.
7/03 1h30 Isomorphisme : définition, caractérisation (l'image d'une base est une base), E et F isomorphes SSI dim E=dim F, image et noyau d'une applciation, T injectif / surjectif SSI ker T=0 / Im T=F, thm. de la dimension (sans preuve).
12/03 1h30 M_UV(T) est un isomorphisme entre L(E;F) et K^p_n, base de K^p_n, exemple 2x3, changement de bases et représentation matricielle, cas d'un endomorphisme, déterminant d'un endomorphisme, exemple "numérique".
14/03 1h30 Diagonalisation: vecteur/valeur propre, sous-espace propre, multiplicité géométrique, endomorphisme diagonalisable (SSI base de vecteurs propres), polynôme caractéristique, exemple numérique.
19/03 1h30 Polynôme caractéristique: propriétés, expressions (2 formes) des coefficients (sans preuve) illustration, trace, multiplicité géométrique inférieure à la multiplicité algébrique.
20/03 1h30 Vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes lin. indép., sous-espaces propres en somme directe, T diagonalisable SSI égalité des multiplicités, cas de valeurs propres simples, illustrations.
21/03 1h30 Polynômes d'endomorphismes, det(P(T)), vecteurs propres/valeurs prorpres de P(T), thm. de Cayley-Hamilton.
26/03 1h30 Preuves des lemmes de Gauss et de d'Alembert, thm. de la dimension, explications sur les coefficients du polynôme caractéristique.
27/03 1h30 Application de la diagonalisation (Fibonacci), polynôme minimum (définition et zéros), produit scalaire sur C^n, matrices hermitienne et unitaire.
28/03 1h30 Matrices unitaires (propriétés, structure de groupe), matrices normales, une matrice est normale SSI elle est diagonalisable par une unitaire, si N normale, vecteur/valeur propre de N*, vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes pour une matrice normale, N est hermitienne/unitaire SSI vp réelle/de module 1.
22h30

bacheliers en sciences mathématiques / bacheliers en sciences informatiques : Théorie des graphes

18/09 3h30 IM Graphes orientés, non orientés, handshaking formula, graphes bipartis, diverses applications de la théorie des graphes, chemin, piste, chemin simple, circuit, connexité, f. connexité, s. connexité, cloture réflexive et transitive de succ/pred, test de connexité et détection des composantes f. connexes (algorithme tache d'huile), graphes eulériens, critère pour qu'un graphe soit eulérien.
25/09 1h30 IM arête de coupure, algorithme de Fleury (sans preuve), distance, diamètre, algorithme de Dijkstra (illustration), sous-graphe, sommets indépendants, k-connexité pour les sommets / pour les arêtes, caractérisation des arêtes de coupure (sans preuve), problème des sens uniques.
2/10 1h30 IM Thm. de Menger (sans preuve), clique, tri topologique (lemmes et preuves), arbres, sous-arbre couvrant, parcours d'arbres.
9/10 1h30 IM Homomorphisme, coloriage propre, nombre chromatique, lien avec homomorphisme, isomorphisme de graphes, automorphismes d'un graphe, exemples dans Mathematica (manipulation de graphes), arbre lexicographique infini, arbre régulier ayant un nombre fini de sous-arbres non-isomorphes. Graphes hamiltoniens (definition, condition nécessaire).
16/10 3h00 IM Conditions suffisantes pour qu'un graphe soit hamiltonien : thm. de Dirac, thm. d'Ore, fermeture d'un graphe, corollaires du thm. d'Ore, thm. de Chvatal (énoncés, sans preuve), graphe de De Bruijn et tour de magie, le graphe de De Bruijn d'ordre n+1 est hamiltonien, théorie algébrique des graphes, matrice d'adjacence, matrice de permutation, coefficients du polynôme caractéristique, graphe biparti implique spectre symétrique, nombre de chemins de longueur n, matrices irréductible, primitive, thm. de Perron, thm. de Perron-Frobenius (évocation).
23/10 1h00 IM Estimation du nombre de chemins de longueur n, 1 composante primitive, plusieurs composantes primitives, composantes irréductibles, période d'un sommet, d'une composante, thm. fondamental (cas irréductible) - évocation des résultats.
30/10 3h00 M Preuves de : exactitude de l'algorithme de Dijkstra, caractérisation des arêtes de coupure, thm. de Dirac, d'Ore, de Chvatal, partition de Kn en circuits/chemins hamiltoniens, spectre symétrique implique graphe biparti, spectre d'un graphe k-régulier, cas des matrices stochatisques.
06/11 3h00 IMPage Rank, planarité, faces, formules d'Euler, existence d'un sommet de degré au plus 5, K5, K33 non planaires, thm. de Kuratowski, thm. des 4/5 couleurs.
11/12 2h00 MNombres de Ramsey.
20h00