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Premiers bacheliers en sciences mathématiques et physiques : Algèbre

16/9 2h00 Notions de monoide, groupe, anneau, corps, champ, exemple des parties d'un ensemble, théorie naïve des ensembles.
17/9 2h00 (1BP seuls) définition de C comme ensemble de couples de réels, définition de + et ., identification des réels, z=a+ib, nombres associés à un complexe, propriétés.
17/9 2h00 (1BP seuls) exponentielle complexe, propriétés, forme trigonométrique, fonctions arcsin et arcos, formule de De Moivre, cos(3x), sin(3x).
22/9 2h00 (1BP seuls) forme cartésienne, forme trigonométrique, cos(x), sin(x), interprétation géométrique de la somme et du produit, homothétie, racines carrées, équation du second degré.
23/9 2h00 Matrices à coefficients dans un champ K, multiplication par un scalaire, somme, combinaisons linéaires, produit, premières propriétés du produit.
6/10 2h00 (1BP seuls) exemples, binôme de Newton, symbole sommatoire, preuves par récurrence, thm. multinomial.
30/9 1h30 cours en ligne : fin de l'introduction aux matrices, propriétés du produit, associativité, exemples, transposée, opérations pour les matrices complexes, sous-matrices et opérations.
6/10 2h00 (1BP seuls) retour sur le thm. multinomial, puissance divisée, racines n-ièmes d'un complexe, racines de l'unité, propriétés : somme des racines, racine primitive.
7/10 2h00 Permutations : définition, exemples, structure de groupe, nombre de permutation, 2 permutations disjointes commuttent, cycles, produit de cycles.
14/10 2h00 cycles : puissance, transposition, produit de transpositions, signature d'une permutation, signature d'un produit, corollaires : signature d'un cycle de longueur p, parité en fonction du nombre de cycles de longueur paire, nombre de permutations paires = nombre de permutations impaires.
21/10 2h00 Déterminant : définition, privilégier lignes/colonnes, dét. transposée, conjugué, adjoint, premières propriétés : det(I), multilinéarité, caractère alterné, antisymétrie, à une constante près le dét. est l'unique application multilinéaire et alternée (sans preuve), ajouter à une colonne une combinaison d'autres colonnes, cas des matrices bloc-triangulaires, introduction à la loi des mineurs.
4/11 2h00 det(AB), mineur, cofacteur, lois des mineurs, expression matricielle, lemme expression cofacteur, preuve des lois des mineurs, indépendance linéaire, définition, exemple, premières propriétés : ajouter/retirer un vecteur à des vecteurs lin. dépendants/indépendants, vecteur nul, si x1,...,xk indépendants et x1,...,xk,x(k+1) dépendants, alors x(k+1) est combinaison des autres.
18/11 2h00 Thm de Steinitz (énoncé), conséquence pour des vecteurs colonnes, det A=0 SSI colonnes dépendantes (sans preuve), vecteurs dépendants SSI tous les mineurs nuls (un sens), rang: définition, premières propriétés, rg(A)=r SSI r col. indépendantes et toute col. est combinaison de celles-ci, rg(A+B), rg(A.B), méthode des matrices bordées (sans preuve, exemple), inverse de matrices, à gauche, à droite, existence, unicité, propriétés, x1,...,xk dépendants SSI Ax1,...,Axk dépendants (si A inversible).
24/11 1h30 Formules de Frobenius-Schur et corollaire. Espaces vectoriels : définition, exemples, premières propriétés, indépendance linéaire, exemples, importance du champ.
25/11 2h00 Partie libre, partie génératrice, exemples "numériques", espace de dimension finie, ex. ensemble des polynômes n'est pas de dimension finie, toute partie libre (génératrice) est incluse (contient) une base, existence d'une base, toutes les bases ont le même nombre d'éléments, dimension, partie libre (génératrice) et en nombre égal à la dimension implique base, décomposition unique dans une base.
1/12 1h30 Passage aux composantes, exemple : une base des polynômes de degré au plus 2, décomposition dans cette base, le passage aux composantes est un "isomorphisme" entre E et Kn, changement de bases, matrice de changement de bases est unique.
2/12 2h00 Sous-espaces vectoriels : définitions, exemples, critère (0, somme et multiplication par un scalaire), dim F <= dim E, si égalité alors E=F, union, intersection de sev, enveloppe linéaire, définition, cas fini, exemples, somme de 2 sev, F+G est un sev.
8/12 1h30 dim(F+G), un exemple détaillé (matrices 2x2), somme directe de 2 sev, unicité de la décomposition x=f+g, retour sur exemple.
9/12 2h00 Somme de p sev, somme directe, caractérisations : unicité de la décomposition, F1 en somme directe avec F2+...+Fp et F2,...,Fp en somme directe. Introduction aux systèmes linéaires, premières définitions.
15/12 1h30 Vidéo : si A est inversible, solution unique, Ax=0 a unique solution 0 SSI A inversible, formules de Cramer.
16/12 2h00 thm. de Rouché, corollaire (équations indépendantes en nombre égal au rang), structure des solutions, discussion, méthode du Pivot.
28h00 + 10h00

Premiers bacheliers en sciences mathématiques / Deuxièmes bacheliers en sciences physiques : Algèbre

2/2 1h30 Polynômes à coefficients complexes, Dz, dérivée et coefficients, égalité de 2 polynômes, degré, formule de Taylor.
6/2 1h30 Zéros de polynômes à coefficients complexes, caractérisation des zéros, TFA, corollaires du TFA.
9/2 1h30 corollaire et partage de secrets, formules de Viète (cas degré 2 et 3), évocation de la règle de Descartes, division euclidienne de polynôme : existence et unicité, disivion en "pratique", D divise P ssi les zéros ..., pgcd de 2 polynômes, zéros du pgcd.
13/2 1h30 Si A divise BC et premier avec B, alors A divise C, algorithme d'Euclide, thm. de Bezout, fractions rationnelles : définition, num./dénom. premiers entre eux, unicité à une constante multiplicative près, comportement au voisinage d'un pôle, fraction rationnelle propre.
16/2 1h30 Pôles de la dérivée d'une fraction rationnelle, décomposition en fract. propres : décomposition en 2 fract. propres, en m fract. propres, exemple, évocation de la décomposition en fractions simples
20/2 1h30 Décomposition en fractions simples sur C, polynômes réels et zéros, fractions réelles, décomposition en fract. simples sur R (énoncé).
23/2 1h30 Introduction aux applications linéaires, exemples, premières propriétés : L(E;F) est un espace vectoriel, composée, une application linéaire est complètement caractérisée par les images des éléments d'une base.
27/2 1h30 Isomorphisme, T-1 aussi, caractérisation par (Tu1,...,Tun) base de F, espaces isomorphes SSI de même dimension, exemple, image et noyau, définition, T surjectif SSI Im T=F, T injectif SSI Ker T={0}.
2/3 1h30 Image, noyau, exemple "numérique", thm. de la dimension, corollaire : qd dim E=dim F, représentation matricielle d'une application, matrice représentant S+T, aT, ST.
9/3 1h30 changement de bases, cas d'un endomorpshime, det(T), retour sur rg(T), introduction à la diagonalisation : T diagonalisable SSI base de vecteurs propres.
13/3 1h30 Lien entre matrice diagonalisable et endomorphisme diagonalisable, espace propre/multiplicité géométrique, polynôme caractéristique, zéro du polynôme = valeur propre de T, multiplicité algbébrique, exemple détaillé.
16h30

bacheliers en sciences mathématiques : Logique et approche mathématique de la programmation

-- -- Cours théorique sous forme de tutoriel vidéo.
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bacheliers en sciences mathématiques / bacheliers en sciences informatiques : Théorie des graphes

15/9 3h00 Graphes orientés, non orientés, handshaking formula, graphes bipartis, diverses applications de la théorie des graphes, chemin, piste, chemin simple, circuit, connexité, f. connexité, s. connexité, cloture réflexive et transitive de succ/pred, test de connexité et détection des composantes f. connexes (algorithme tache d'huile), graphe acyclique (ou condensé) des composantes connexes.
22/9 1h30 Graphes eulériens, algorithme de Dijkstra.
29/9 3h00 cours en ligne : graphes hamiltoniens, condition nécessaire, thm. de Dirac et d'Ore, thm. de Chvatal, partition en circuits hamiltoniens, preuves.
6/10 1h30 Sous-graphe, point d'articulation, k-connexité, arête de coupure, coupe, k-connexité pour les arêtes, liens entre les 2, thm. de Menger, tri topologique.
13/10 1h30 Arbres, relation sommet/arêtes, arbre couvrant, arbres pointés, parcours d'arbres (infixe, préfixe, suffixe), homomorphismes et coloriages, nombre chromatique.
20/10 1h30 Isomorphisme de graphes, groupe d'automorphismes, arbre lexicographique régulier, tour de magie.
3/11 1h30 Planarité, notion de face, choix de la face infinie et projection stéréographique, thm. de Steinitz (sans preuve), formule d'Euler, application : somet de degré au plus 5 dans un graphe simple, K5, K33 non planaires, thm. de Kuratowski (sans preuve), thm. des 4/5 couleurs, dual d'un graphe planaire, nombres de Ramsey, définition et existence.
10/11 1h30 Théorie algébrique des graphes, premières définitions, matrice d'adjacence.
17/11 1h30 Compter le nombre de chemins de longueur n dans un graphe, matrice primitive/irréductible, thm. de Perron, exemple, thm. de Perron-Frobenius, comportement asymptotique nombre de chemins avec 1 ou plusieurs composantes primitives.
24/11 1h30 Thm. de structure des puissances d'une matrice irréductible, période d'un sommet, d'une composante connexe, acyclique/cyclique, irréductible+acyclique SSI primtive, exemples.
1/12 2h00 Valeurs propres d'un graphe k-régulier, d'une matrice stochastique, pagerank.
20h00

Premiers bacheliers ingénieurs civils : Maths. discrètes

5/2 3h00 Slides 1: entièreté, sous-graphes
12/2 1h30 TP 1 ex. 1 à 6 + 8
12/2 1h45 Slides 2: sous-graphes, couverture, arbre, lien sommets/arêtes dans un arbre, arbre pointé, parcours d'arbres (préfixe, suffixe, infixe, profondeur), algorithme de dijkstra, introduction à la planarité.
19/2 1h30 TP 2 ex. 1 à 7
19/2 2h00 Existence d'un sommet de degré au plus 5, K5 non planaire, K33 non planaire, thm. de Kuratowski, graphes eulériens, hamiltoniens, tour de magie.
26/2 1h30 TP 3 : exercices 8,9,10 de la liste 2 + août 2021 (formule d'Euler), exercices 1,2,3 de la liste 3.
26/2 2h00 Graphe de Debruijn, matrice d'adjacence, définitions, premières propriétés, polynôme caractéristique et valeur propres d'un graphe, interprétation des coefficients, graphe biparti SSI spectre symétrique, matrice de demi-degré entrant, thm. de Bott-Mayberry, tri topologique, graphe acyclique des composantes.
5/3 1h30 TP4, liste 3, ex. 4,5,6 et liste 4, ex. 1,2.
5/3 2h00 Matrice primitive, irréductible, interprétation, période, thm. de Perron, Perron-Frobenius, comportement asymptotique An si A primitive, application au PageRank.
12/3 1h30 TP 5, ex. tri topologique, liste 4, ex. 3,5,6,7.
12/3 2h00 Théorie sur les suites linéaires récurrentes.
12h30 + 7h30