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Premiers bacheliers en sciences mathématiques et physiques : Algèbre

16/9 2h00 Notions de monoide, groupe, anneau, corps, champ, exemple des parties d'un ensemble, théorie naïve des ensembles.
17/9 2h00 (1BP seuls) définition de C comme ensemble de couples de réels, définition de + et ., identification des réels, z=a+ib, nombres associés à un complexe, propriétés.
17/9 2h00 (1BP seuls) exponentielle complexe, propriétés, forme trigonométrique, fonctions arcsin et arcos, formule de De Moivre, cos(3x), sin(3x).
22/9 2h00 (1BP seuls) forme cartésienne, forme trigonométrique, cos(x), sin(x), interprétation géométrique de la somme et du produit, homothétie, racines carrées, équation du second degré.
23/9 2h00 Matrices à coefficients dans un champ K, multiplication par un scalaire, somme, combinaisons linéaires, produit, premières propriétés du produit.
6/10 2h00 (1BP seuls) exemples, binôme de Newton, symbole sommatoire, preuves par récurrence, thm. multinomial.
30/9 1h30 cours en ligne : fin de l'introduction aux matrices, propriétés du produit, associativité, exemples, transposée, opérations pour les matrices complexes, sous-matrices et opérations.
6/10 2h00 (1BP seuls) retour sur le thm. multinomial, puissance divisée, racines n-ièmes d'un complexe, racines de l'unité, propriétés : somme des racines, racine primitive.
7/10 2h00 Permutations : définition, exemples, structure de groupe, nombre de permutation, 2 permutations disjointes commuttent, cycles, produit de cycles.
14/10 2h00 cycles : puissance, transposition, produit de transpositions, signature d'une permutation, signature d'un produit, corollaires : signature d'un cycle de longueur p, parité en fonction du nombre de cycles de longueur paire, nombre de permutations paires = nombre de permutations impaires.
21/10 2h00 Déterminant : définition, privilégier lignes/colonnes, dét. transposée, conjugué, adjoint, premières propriétés : det(I), multilinéarité, caractère alterné, antisymétrie, à une constante près le dét. est l'unique application multilinéaire et alternée (sans preuve), ajouter à une colonne une combinaison d'autres colonnes, cas des matrices bloc-triangulaires, introduction à la loi des mineurs.
4/11 2h00 det(AB), mineur, cofacteur, lois des mineurs, expression matricielle, lemme expression cofacteur, preuve des lois des mineurs, indépendance linéaire, définition, exemple, premières propriétés : ajouter/retirer un vecteur à des vecteurs lin. dépendants/indépendants, vecteur nul, si x1,...,xk indépendants et x1,...,xk,x(k+1) dépendants, alors x(k+1) est combinaison des autres.
18/11 2h00 Thm de Steinitz (énoncé), conséquence pour des vecteurs colonnes, det A=0 SSI colonnes dépendantes (sans preuve), vecteurs dépendants SSI tous les mineurs nuls (un sens), rang: définition, premières propriétés, rg(A)=r SSI r col. indépendantes et toute col. est combinaison de celles-ci, rg(A+B), rg(A.B), méthode des matrices bordées (sans preuve, exemple), inverse de matrices, à gauche, à droite, existence, unicité, propriétés, x1,...,xk dépendants SSI Ax1,...,Axk dépendants (si A inversible).
24/11 1h30 Formules de Frobenius-Schur et corollaire. Espaces vectoriels : définition, exemples, premières propriétés, indépendance linéaire, exemples, importance du champ.
25/11 2h00 Partie libre, partie génératrice, exemples "numériques", espace de dimension finie, ex. ensemble des polynômes n'est pas de dimension finie, toute partie libre (génératrice) est incluse (contient) une base, existence d'une base, toutes les bases ont le même nombre d'éléments, dimension, partie libre (génératrice) et en nombre égal à la dimension implique base, décomposition unique dans une base.
1/12 1h30 Passage aux composantes, exemple : une base des polynômes de degré au plus 2, décomposition dans cette base, le passage aux composantes est un "isomorphisme" entre E et Kn, changement de bases, matrice de changement de bases est unique.
2/12 1h30 Sous-espaces vectoriels : définitions, exemples, critère (0, somme et multiplication par un scalaire), dim F <= dim E, si égalité alors E=F, union, intersection de sev, enveloppe linéaire, définition, cas fini, exemples, somme de 2 sev, F+G est un sev.
20h30 + 10h00

Premiers bacheliers en sciences mathématiques / Deuxièmes bacheliers en sciences physiques : Algèbre

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bacheliers en sciences mathématiques : Logique et approche mathématique de la programmation

-- -- Cours théorique sous forme de tutoriel vidéo.
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bacheliers en sciences mathématiques / bacheliers en sciences informatiques : Théorie des graphes

15/9 3h00 Graphes orientés, non orientés, handshaking formula, graphes bipartis, diverses applications de la théorie des graphes, chemin, piste, chemin simple, circuit, connexité, f. connexité, s. connexité, cloture réflexive et transitive de succ/pred, test de connexité et détection des composantes f. connexes (algorithme tache d'huile), graphe acyclique (ou condensé) des composantes connexes.
22/9 1h30 Graphes eulériens, algorithme de Dijkstra.
29/9 3h00 cours en ligne : graphes hamiltoniens, condition nécessaire, thm. de Dirac et d'Ore, thm. de Chvatal, partition en circuits hamiltoniens, preuves.
6/10 1h30 Sous-graphe, point d'articulation, k-connexité, arête de coupure, coupe, k-connexité pour les arêtes, liens entre les 2, thm. de Menger, tri topologique.
13/10 1h30 Arbres, relation sommet/arêtes, arbre couvrant, arbres pointés, parcours d'arbres (infixe, préfixe, suffixe), homomorphismes et coloriages, nombre chromatique.
20/10 1h30 Isomorphisme de graphes, groupe d'automorphismes, arbre lexicographique régulier, tour de magie.
3/11 1h30 Planarité, notion de face, choix de la face infinie et projection stéréographique, thm. de Steinitz (sans preuve), formule d'Euler, application : somet de degré au plus 5 dans un graphe simple, K5, K33 non planaires, thm. de Kuratowski (sans preuve), thm. des 4/5 couleurs, dual d'un graphe planaire, nombres de Ramsey, définition et existence.
10/11 1h30 Théorie algébrique des graphes, premières définitions, matrice d'adjacence.
17/11 1h30 Compter le nombre de chemins de longueur n dans un graphe, matrice primitive/irréductible, thm. de Perron, exemple, thm. de Perron-Frobenius, comportement asymptotique nombre de chemins avec 1 ou plusieurs composantes primitives.
24/11 1h30 Thm. de structure des puissances d'une matrice irréductible, période d'un sommet, d'une composante connexe, acyclique/cyclique, irréductible+acyclique SSI primtive, exemples.
1/12 2h00 Valeurs propres d'un graphe k-régulier, d'une matrice stochastique, pagerank.
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Premiers bacheliers ingénieurs civils : Maths. discrètes

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