Premiers bacheliers en sciences mathématiques et physiques : Algèbre
17/9 1h30 |
Notions de monoide, groupe, anneau, corps, champ, exemple des entiers modulo. |
18/9 1h30 |
Ensemble des parties d'un ensemble muni de la différence symétrique et de l'intersection,
matrices introduction, multiplication par un scalaire, somme, combinaisons linéaires.
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24/9 1h30 |
Matrices (suite) : produit, transposée, matrice symétrique, matrices à coefficients complexes, matrice hermitienne, sous-matrices, matrices blocs.
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25/9 1h30 |
Matrices (fin) : produit de matrices blocs, permutations, produit de permutation, structure de groupe, notation, cycles, toute permutation est un produit de cycles, illustrations.
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1/10 1h30 |
Exemples permutations, cycles, produits/puissances de cycles, transposition, tout cycle est un produit de transposition, inversion, signature, parité d'un cycle, d'une permutation, signature d'un produit (sans preuve), il y a autant de permutations paires qu'impaires (avec preuve), groupe alterné.
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9/10 1h30 |
Déterminant : définition (sur les lignes), exemples en dimension 2 et 3, définition sur les colonnes, transposée, (multi-)linéarité, caractère alterné, antisymétrie.
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15/10 1h30 |
Ajouter une combinaison linéaire d'autres rangées à une rangée, si D(A) est linéaire et alternée alors D(A)=D(I).det(A), déterminant d'une matrice bloc triangulaire (sans preuve détaillée), mineur, cofacteur, énoncés des lois des mineurs, forme matricielle.
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16/10 1h30 |
Lois des mineurs (lemme + preuve), déterminant d'un produit, indépendance linéaire de vecteurs colonnes : définition et premières propriétés, lien avec le déterminant : cas de n vecteurs colonnes de dimension n, moins de vecteurs que la dimension (sens "facile").
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22/10 1h30 |
p vecteurs de Kn linéairement indépendants/dépendants, en fonction de p et n, énoncé de Steinitz, définition du rang, premières propriétés, méthode des sous-matrices bordées (avec preuve).
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28/10 ---- |
Interrogation formative.
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29/10 1h30 |
Inverse de matrices : définition, existence, propriétés, indépendance linéaire/rang et multiplication par une matrice inversible, formules de Frobenius-Schur, corollaire (sans preuve).
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5/11 1h30 |
Introduction aux espaces vectoriels, définition, exemples, indépendance linéaire, exemples (différence entre C et R), thm. de Steinitz.
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6/11 1h30 |
Partie libre, génératrice, base, espace de dimension finie, exemple d'espace de dimension infinie, toute partie libre est incluse/toute partie génératrice contient une base, existence d'une base, 2 bases ont le même nombre d'éléments, décomposition unique dans une base, composantes.
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12/11 1h30 |
Bases : le passage aux composantes est un isomorphisme, exemples (matrices 2x2 dont la somme des coefficients vaut 0), changement de bases, remarques : matrice de changement de bases inversible, cas de 3 bases, unicité de la matrice de changement de bases.
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13/11 1h30 |
Sous-espaces vectoriels : définition, exemple, dimension, si F sev de E et de même dimension, alors F=E, somme, union, intersection de sev, enveloppe linéaire, enveloppe linéaire d'un nombre fini d'éléments.
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19/11 1h30 |
dim(F+G), somme directe, définition, exemples, décomposition unique d'élements de F+G, supplémentaire : non unique, construction, somme de p sev.
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20/11 1h30 |
Somme directe de p sev : décomposition unique, et F1 en somme directe avec F2+...+Fp, exemple détaillé (matrices symétriques, base, dimension, supplémentaire, intersection avec matrices triangulaires, etc.).
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25/11 1h30 |
Systèmes d'équations linéaires, définitions, ajouter des équations combinaisons des précédentes, unicité de la solution pour un système de Cramer, formules de Cramer, structures des solutions.
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26/11 2h00 |
Systèmes d'équations linéaires : thm. de Rouché, corollaire, structures des solutions, remarques, exemples, méthode du pivot de Gauss, application à la recherche d'inverse de matrices.
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27h30 | |
Premiers bacheliers en sciences mathématiques / Deuxièmes bacheliers en sciences physiques : Algèbre
10/02 1h30 |
Polynômes à coefficients complexes, fonction polynomiale, Dz, opérateur de Cauchy-Riemann, degré, dérivée et coefficients, formule de Taylor, zéro d'un polynôme, carctérisation des zéros n-uples. |
14/02 1h30 |
Carctérisation des zéros n-uples (fin), TFA, corollaires du TFA, partage de secret, formules de Viète (degré 2 et 3), règle de Descartes sur la localisation des zéros. |
17/02 1h30 |
Division (euclidienne) de polynômes, existence et unicité du quotient et du reste, P divise D, lien entre divisibilité et zéros, pgcd, polynômes premiers entre eux, lien entre pgcd et zéros, si A divise BC et est premier avec B, algorithme d'Euclide, thm. de Bezout. |
21/02 1h30 |
Exemple numérique algo. Euclide, fractions rationnelles, numérateur et dénominateur premiers entre eux, définis à une constante près, pôle, comportement au voisinage d'un pôle, DzR a les mêmes pôles avec ordre augmenté de 1, décomposition d'une fraction propre en somme de 2 fractions propres. |
28/02 1h30 |
Décomposition en fractions propres, identification des coefficients, décomposition en fractions simples (sur C), polynômes et fractions réels, zéros d'un polynôme réel, décomposition en fractions simples sur R (sans preuve). |
02/03 1h30 |
Applications linéaires : définition, exemples, forme linéaire, endomorphisme, L(E;F) est un espace-vectoriel, composition d'applications, une application est entièrement caractérisée par les images des éléments d'une base, isomorphisme, T^-1 est linéaire. |
06/03 1h30 |
Applications linéaires : T isomorphisme SSI image d'une base est une base, corollaire E et F isomorphes SSI même dimension, image et noyau (déinitions, exemples), T inj./surj. SSI ker T = {0} / Im T=F, rang de T, thm. de la dimension. |
09/03 1h30 |
Thm. de la dimension, illustration "numérique", cas de dim E=dim F, représentation matricielle, position du problème, matrice représentant T, l'application qui à T associe M_U,V(T) est un isomorphisme. |
12h00 | |
17/09 1h30 |
Programmer : pour qui, pourquoi ? un peu de Python : variables, arithmétique, chaînes de caractères.
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24/09 1h30 |
Les listes, opérations génériques aux séquences, méthodes appliquées aux listes, représentation mémoire et alias, tests et booléens, entrée utilisateur et exceptions, boucle while, le problème de Collatz, boucle for, itération sur les types séquentiels.
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1/10 1h30 |
Les types ensemble et dictionnaire, break, fonction, variables locales/globales, fonctions récursives, décomposer un nombre en base entière, recherche de palindromes en base 2 et 3.
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4/10 1h30 |
Tris (bubble sort, par insertion, quicksort)... évocation du problème des 8 reines.
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15/10 1h30 |
Problème des 8 reines et backtracking.
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22/10 1h30 |
Quelques cas "pratiques" : utilisation de graphics.py pour afficher le graphique d'une fonction et ses tangentes, fractal de Mandelbrot.
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29/10 1h30 |
affichage d'une solution des "reines", exponentiation (de 3 façons), "subset sum problem".
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5/11 1h30 |
"subset sum problem" amélioré pour s'arrêter à la première solution trouvée, génération de n-uplets, de permutations, lire/écrire dans un fichier.
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12/11 1h30 |
Programmation orientée objet : notion de classe (attributs, méthode), instance, héritage, implémentation en Python. |
19/11 1h30 |
Programmation orientée objet : implémentation d'une classe (nombre) "Complexe". |
26/11 1h30 |
Correction de l'interrogation à blanc. |
18/02 1h30 |
Séance supplémentaire "coaching". |
03/03 1h30 |
Séance supplémentaire "coaching". |
10/03 1h30 |
Séance supplémentaire "coaching". |
16h30 | |
bacheliers en sciences mathématiques / bacheliers en sciences informatiques : Théorie des graphes
16/09 3h30 |
IM Graphes orientés, non orientés, handshaking formula, graphes bipartis, diverses applications de la théorie des graphes, chemin, piste, chemin simple, circuit, connexité, f. connexité, s. connexité, cloture réflexive et transitive de succ/pred, test de connexité et détection des composantes f. connexes (algorithme tache d'huile), graphe acyclique des composantes connexes.
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23/09 3h30 |
IM Graphes eulériens, algorithme de Dijkstra, exercices 1 à 8.
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30/09 1h30 |
IMSous-graphes, sous-graphe couvrant, sous-graphe induit, clique, point/ensemble d'articulation, (ensemble de) coupure, caractérisation des arêtes de coupure, thm. de Menger (énoncé), tri topologique : graphes sans cycle, énuméeration des sommets, non unicité.
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7/10 1h30 |
IMArbres, premières propriétés, caractérisation, nombre de sommets, sous-arbre couvrant, parcours d'arbres (préfixe, infixe, suffixe, en largeur, en profondeur), homomorphismes de graphes, lien avec les coloriages propres.
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14/10 1h30 |
IMIsomorphismes de graphes, automorphismes, exemples, arbre lexicographique, arbres réguliers, graphes hamiltoniens, exemples, thm. de Dirac (avec preuve), thm. d'Ore : énoncé, notion de fermeture et ses corollaires.
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21/10 1h30 |
IMThéorie algébrique des graphes, matrice d'adjacence, premières propriétés, coefficients du polynôme caractéristique, graphe biparti implique spectre symétrique, compter le nombre de chemins dans un graphe, définitions matrice/graphe irréductible/primitive, thm. de Perron.
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29/10 3h30 |
MEnoncés et preuves: thm. d'Ore, thm. de Chvatal, partition de Kn en circuits hamiltoniens, thm. des 5 couleurs, nombres de Ramsey.
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4/11 2h00 |
IMRetour sur le thm. de Perron et son corollaire, exemple numérique pour illustrer le comportement asymptotique des puissances de A, différence irréductible/primitif, thm. de Perron-Frobenius, si un graphe connexe a un spectre symétrique, alors il est biparti, nombre de chemins dans un graphe ayant plusiseurs composantes primitives.
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18/11 1h45 |
IMThm. de structure des matrices irréductibles/graphes fortement connexes, notion de période d'un sommet, d'une composante f. connexe, lemmes préparatoires, lien avec le thm. de Perron-Frobenius, cas des graphes k-réguliers : valeur propre dominante k, matrices stochastiques.
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18/11 1h45 |
IMPageRank |
18/11 1h45 |
IMPlanarité, formule d'Euler, graphe simple avec sommet de degré au plus 5, K33, K5, thm. de Kuratowski (énoncé), coloriage, homomorphisme vers graphe simple, énoncé du thm. des 4 couleurs. |
23h00 | |
Premiers bacheliers ingénieurs civils : Maths. discrètes
06/02 3h00 |
- graphes orientés, non orientés, graphes k-réguliers, complets, bipartis
- chemin, piste, ... conexité, forte connexité, recherche des composantes connexes/f.connexes, distance, diamètre
- Dijkstra, sous-graphes, arbres et parcours d'arbres
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13/02 1h30 |
Graphes planaires (définitions, sommet de degré au plus 5, K5, K33, Kuratowski) ; graphes eulériens (définitions, exemples, caractérisation cas orienté ou non, algorithme de Fleury). |
13/02 1h30 |
TP 1 : exercices 1,2,3,4,5,8. |
20/02 1h30 |
Graphes hamiltoniens, Wooclap, introduction de la matrice d'adjacence. |
20/02 1h30 |
TP 2 : exercices 1,2,3,5,6,7. |
27/02 1h30 |
Polynôme caractéristique, caractérisation des graphes bipartis par leur spectre, thm. de Bott-Mayberry (comptage des sous-arbres couvrant), puissances de la matrice d'adjacence pour compter les chemins de longueur n, tri topologique, matrice irréductible/primitive. |
27/02 1h30 |
TP 2 : exercices 8,9,10,14, TP 3 : exercices 1,3,5,6. |
05/03 1h30 |
Matrice irréductible/primitive, thm. de Perron / Perron-Frobenius, mise en perspective, période d'un sommet, d'une composante, algorithme du page Rank |
05/03 1h30 |
TP 4 : exercices 1 à 6. |
12/03 1h30 |
suites linéaires récurrentes, définition, propriétés, conditions initiales, thm. de structure. |
12/03 1h30 |
TP 4 : exercice 7, TP 5 : exercices 1 à 5. |
10h30 | |
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