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Premiers bacheliers en sciences mathématiques et physiques : Algèbre

17/9 1h30 Notions de monoide, groupe, anneau, corps, champ, exemple des entiers modulo.
18/9 1h30 Ensemble des parties d'un ensemble muni de la différence symétrique et de l'intersection, matrices introduction, multiplication par un scalaire, somme, combinaisons linéaires.
24/9 1h30 Matrices (suite) : produit, transposée, matrice symétrique, matrices à coefficients complexes, matrice hermitienne, sous-matrices, matrices blocs.
25/9 1h30 Matrices (fin) : produit de matrices blocs, permutations, produit de permutation, structure de groupe, notation, cycles, toute permutation est un produit de cycles, illustrations.
1/10 1h30 Exemples permutations, cycles, produits/puissances de cycles, transposition, tout cycle est un produit de transposition, inversion, signature, parité d'un cycle, d'une permutation, signature d'un produit (sans preuve), il y a autant de permutations paires qu'impaires (avec preuve), groupe alterné.
9/10 1h30 Déterminant : définition (sur les lignes), exemples en dimension 2 et 3, définition sur les colonnes, transposée, (multi-)linéarité, caractère alterné, antisymétrie.
15/10 1h30 Ajouter une combinaison linéaire d'autres rangées à une rangée, si D(A) est linéaire et alternée alors D(A)=D(I).det(A), déterminant d'une matrice bloc triangulaire (sans preuve détaillée), mineur, cofacteur, énoncés des lois des mineurs, forme matricielle.
16/10 1h30 Lois des mineurs (lemme + preuve), déterminant d'un produit, indépendance linéaire de vecteurs colonnes : définition et premières propriétés, lien avec le déterminant : cas de n vecteurs colonnes de dimension n, moins de vecteurs que la dimension (sens "facile").
22/10 1h30 p vecteurs de Kn linéairement indépendants/dépendants, en fonction de p et n, énoncé de Steinitz, définition du rang, premières propriétés, méthode des sous-matrices bordées (avec preuve).
28/10 ---- Interrogation formative.
29/10 1h30 Inverse de matrices : définition, existence, propriétés, indépendance linéaire/rang et multiplication par une matrice inversible, formules de Frobenius-Schur, corollaire (sans preuve).
5/11 1h30 Introduction aux espaces vectoriels, définition, exemples, indépendance linéaire, exemples (différence entre C et R), thm. de Steinitz.
6/11 1h30 Partie libre, génératrice, base, espace de dimension finie, exemple d'espace de dimension infinie, toute partie libre est incluse/toute partie génératrice contient une base, existence d'une base, 2 bases ont le même nombre d'éléments, décomposition unique dans une base, composantes.
12/11 1h30 Bases : le passage aux composantes est un isomorphisme, exemples (matrices 2x2 dont la somme des coefficients vaut 0), changement de bases, remarques : matrice de changement de bases inversible, cas de 3 bases, unicité de la matrice de changement de bases.
13/11 1h30 Sous-espaces vectoriels : définition, exemple, dimension, si F sev de E et de même dimension, alors F=E, somme, union, intersection de sev, enveloppe linéaire, enveloppe linéaire d'un nombre fini d'éléments.
19/11 1h30 dim(F+G), somme directe, définition, exemples, décomposition unique d'élements de F+G, supplémentaire : non unique, construction, somme de p sev.
20/11 1h30 Somme directe de p sev : décomposition unique, et F1 en somme directe avec F2+...+Fp, exemple détaillé (matrices symétriques, base, dimension, supplémentaire, intersection avec matrices triangulaires, etc.).
25/11 1h30 Systèmes d'équations linéaires, définitions, ajouter des équations combinaisons des précédentes, unicité de la solution pour un système de Cramer, formules de Cramer, structures des solutions.
26/11 2h00 Systèmes d'équations linéaires : thm. de Rouché, corollaire, structures des solutions, remarques, exemples, méthode du pivot de Gauss, application à la recherche d'inverse de matrices.
27h30

Premiers bacheliers en sciences mathématiques / Deuxièmes bacheliers en sciences physiques : Algèbre

10/02 1h30 Polynômes à coefficients complexes, fonction polynomiale, Dz, opérateur de Cauchy-Riemann, degré, dérivée et coefficients, formule de Taylor, zéro d'un polynôme, carctérisation des zéros n-uples.
14/02 1h30 Carctérisation des zéros n-uples (fin), TFA, corollaires du TFA, partage de secret, formules de Viète (degré 2 et 3), règle de Descartes sur la localisation des zéros.
17/02 1h30 Division (euclidienne) de polynômes, existence et unicité du quotient et du reste, P divise D, lien entre divisibilité et zéros, pgcd, polynômes premiers entre eux, lien entre pgcd et zéros, si A divise BC et est premier avec B, algorithme d'Euclide, thm. de Bezout.
21/02 1h30 Exemple numérique algo. Euclide, fractions rationnelles, numérateur et dénominateur premiers entre eux, définis à une constante près, pôle, comportement au voisinage d'un pôle, DzR a les mêmes pôles avec ordre augmenté de 1, décomposition d'une fraction propre en somme de 2 fractions propres.
28/02 1h30 Décomposition en fractions propres, identification des coefficients, décomposition en fractions simples (sur C), polynômes et fractions réels, zéros d'un polynôme réel, décomposition en fractions simples sur R (sans preuve).
02/03 1h30 Applications linéaires : définition, exemples, forme linéaire, endomorphisme, L(E;F) est un espace-vectoriel, composition d'applications, une application est entièrement caractérisée par les images des éléments d'une base, isomorphisme, T^-1 est linéaire.
06/03 1h30 Applications linéaires : T isomorphisme SSI image d'une base est une base, corollaire E et F isomorphes SSI même dimension, image et noyau (déinitions, exemples), T inj./surj. SSI ker T = {0} / Im T=F, rang de T, thm. de la dimension.
09/03 1h30 Thm. de la dimension, illustration "numérique", cas de dim E=dim F, représentation matricielle, position du problème, matrice représentant T, l'application qui à T associe M_U,V(T) est un isomorphisme.
12h00

bacheliers en sciences mathématiques : Logique et approche mathématique de la programmation

17/09 1h30 Programmer : pour qui, pourquoi ? un peu de Python : variables, arithmétique, chaînes de caractères.
24/09 1h30 Les listes, opérations génériques aux séquences, méthodes appliquées aux listes, représentation mémoire et alias, tests et booléens, entrée utilisateur et exceptions, boucle while, le problème de Collatz, boucle for, itération sur les types séquentiels.
1/10 1h30 Les types ensemble et dictionnaire, break, fonction, variables locales/globales, fonctions récursives, décomposer un nombre en base entière, recherche de palindromes en base 2 et 3.
4/10 1h30 Tris (bubble sort, par insertion, quicksort)... évocation du problème des 8 reines.
15/10 1h30 Problème des 8 reines et backtracking.
22/10 1h30 Quelques cas "pratiques" : utilisation de graphics.py pour afficher le graphique d'une fonction et ses tangentes, fractal de Mandelbrot.
29/10 1h30 affichage d'une solution des "reines", exponentiation (de 3 façons), "subset sum problem".
5/11 1h30 "subset sum problem" amélioré pour s'arrêter à la première solution trouvée, génération de n-uplets, de permutations, lire/écrire dans un fichier.
12/11 1h30 Programmation orientée objet : notion de classe (attributs, méthode), instance, héritage, implémentation en Python.
19/11 1h30 Programmation orientée objet : implémentation d'une classe (nombre) "Complexe".
26/11 1h30 Correction de l'interrogation à blanc.
18/02 1h30 Séance supplémentaire "coaching".
03/03 1h30 Séance supplémentaire "coaching".
10/03 1h30 Séance supplémentaire "coaching".
16h30

bacheliers en sciences mathématiques / bacheliers en sciences informatiques : Théorie des graphes

16/09 3h30 IM Graphes orientés, non orientés, handshaking formula, graphes bipartis, diverses applications de la théorie des graphes, chemin, piste, chemin simple, circuit, connexité, f. connexité, s. connexité, cloture réflexive et transitive de succ/pred, test de connexité et détection des composantes f. connexes (algorithme tache d'huile), graphe acyclique des composantes connexes.
23/09 3h30 IM Graphes eulériens, algorithme de Dijkstra, exercices 1 à 8.
30/09 1h30 IMSous-graphes, sous-graphe couvrant, sous-graphe induit, clique, point/ensemble d'articulation, (ensemble de) coupure, caractérisation des arêtes de coupure, thm. de Menger (énoncé), tri topologique : graphes sans cycle, énuméeration des sommets, non unicité.
7/10 1h30 IMArbres, premières propriétés, caractérisation, nombre de sommets, sous-arbre couvrant, parcours d'arbres (préfixe, infixe, suffixe, en largeur, en profondeur), homomorphismes de graphes, lien avec les coloriages propres.
14/10 1h30 IMIsomorphismes de graphes, automorphismes, exemples, arbre lexicographique, arbres réguliers, graphes hamiltoniens, exemples, thm. de Dirac (avec preuve), thm. d'Ore : énoncé, notion de fermeture et ses corollaires.
21/10 1h30 IMThéorie algébrique des graphes, matrice d'adjacence, premières propriétés, coefficients du polynôme caractéristique, graphe biparti implique spectre symétrique, compter le nombre de chemins dans un graphe, définitions matrice/graphe irréductible/primitive, thm. de Perron.
29/10 3h30 MEnoncés et preuves: thm. d'Ore, thm. de Chvatal, partition de Kn en circuits hamiltoniens, thm. des 5 couleurs, nombres de Ramsey.
4/11 2h00 IMRetour sur le thm. de Perron et son corollaire, exemple numérique pour illustrer le comportement asymptotique des puissances de A, différence irréductible/primitif, thm. de Perron-Frobenius, si un graphe connexe a un spectre symétrique, alors il est biparti, nombre de chemins dans un graphe ayant plusiseurs composantes primitives.
18/11 1h45 IMThm. de structure des matrices irréductibles/graphes fortement connexes, notion de période d'un sommet, d'une composante f. connexe, lemmes préparatoires, lien avec le thm. de Perron-Frobenius, cas des graphes k-réguliers : valeur propre dominante k, matrices stochastiques.
18/11 1h45 IMPageRank
18/11 1h45 IMPlanarité, formule d'Euler, graphe simple avec sommet de degré au plus 5, K33, K5, thm. de Kuratowski (énoncé), coloriage, homomorphisme vers graphe simple, énoncé du thm. des 4 couleurs.
23h00

Premiers bacheliers ingénieurs civils : Maths. discrètes

06/02 3h00 - graphes orientés, non orientés, graphes k-réguliers, complets, bipartis
- chemin, piste, ... conexité, forte connexité, recherche des composantes connexes/f.connexes, distance, diamètre
- Dijkstra, sous-graphes, arbres et parcours d'arbres
13/02 1h30 Graphes planaires (définitions, sommet de degré au plus 5, K5, K33, Kuratowski) ; graphes eulériens (définitions, exemples, caractérisation cas orienté ou non, algorithme de Fleury).
13/02 1h30 TP 1 : exercices 1,2,3,4,5,8.
20/02 1h30 Graphes hamiltoniens, Wooclap, introduction de la matrice d'adjacence.
20/02 1h30 TP 2 : exercices 1,2,3,5,6,7.
27/02 1h30 Polynôme caractéristique, caractérisation des graphes bipartis par leur spectre, thm. de Bott-Mayberry (comptage des sous-arbres couvrant), puissances de la matrice d'adjacence pour compter les chemins de longueur n, tri topologique, matrice irréductible/primitive.
27/02 1h30 TP 2 : exercices 8,9,10,14, TP 3 : exercices 1,3,5,6.
05/03 1h30 Matrice irréductible/primitive, thm. de Perron / Perron-Frobenius, mise en perspective, période d'un sommet, d'une composante, algorithme du page Rank
05/03 1h30 TP 4 : exercices 1 à 6.
12/03 1h30 suites linéaires récurrentes, définition, propriétés, conditions initiales, thm. de structure.
12/03 1h30 TP 4 : exercice 7, TP 5 : exercices 1 à 5.
10h30